Derivada de Abs(x)

Q: Qual é a derivada de |x|?

abs(x)^(-1)*x. O valor absoluto é a reta y = x para x > 0 e y = −x para x < 0. A inclinação é +1 à direita e −1 à esquerda, isto é x/|x|, o sinal de x. O motor escreve isso como x/abs(x). Em x = 0 as inclinações laterais não coincidem, então a derivada não existe na quina, embora a função seja contínua.

Q: Qual resposta errada aparece em |x|?

Responder 1 descreve só a semirreta da direita. Para x negativo o gráfico desce, e a inclinação é −1.

Answer

\frac{x}{\left|x\right|}

Derivative of Abs(x)

Rule Used: Absolute Value Rule
Steps: Recognize the absolute value function |u| = abs(u).
Apply the rule: $\frac{d}{dx}$ |u| = u' · u/|u| (equivalently u'·sign(u) for u ≠ 0). The derivative does not exist where u = 0, because the graph has a corner.
Here u = x, so the derivative is shown below.
Final answer: abs(x)^(-1)*x

d/dx |x| = abs(x)^(-1)*x. A derivada existe para todo x exceto 0, onde o gráfico tem uma quina e as inclinações laterais não coincidem.

Solução passo a passo instantânea para Abs(x)

DerivativeIntermediate

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Derivada

|x| → abs(x)^(-1)*xengine: abs(x)^(-1)*x

Gráfico da função e da derivada

A curva cheia é f. A curva tracejada é f′. As falhas verticais são assíntotas ou saltos, não zeros a mais.

Por que a derivada tem esta forma

O valor absoluto é a reta y = x para x > 0 e y = −x para x < 0. A inclinação é +1 à direita e −1 à esquerda, isto é x/|x|, o sinal de x. O motor escreve isso como x/abs(x). Em x = 0 as inclinações laterais não coincidem, então a derivada não existe na quina, embora a função seja contínua.

Aplique a definição como limite a |x|. A forma para memorizar, já simplificada, é abs(x)^(-1)*x.

A derivada existe para todo x exceto 0, onde o gráfico tem uma quina e as inclinações laterais não coincidem.

Em x = 2, substitua na forma simplificada abs(x)^(-1)*x. Esse número é a inclinação de |x| nesse ponto; uma secante com um passo pequeno de x cai ao lado.

Derivada desenvolvida

Escreva f(x) = |x|.
Aplique a definição como limite a |x|. A forma para memorizar, já simplificada, é abs(x)^(-1)*x.
Em x = 2, substitua na forma simplificada abs(x)^(-1)*x. Esse número é a inclinação de |x| nesse ponto; uma secante com um passo pequeno de x cai ao lado.

Erros comuns

Responder 1

Responder 1 descreve só a semirreta da direita. Para x negativo o gráfico desce, e a inclinação é −1.

Afirmar que |x| tem derivada no ponto ruim

Quinas e saltos são exatamente onde uma fórmula que funciona em cada pedaço falha. Diga os pedaços e depois a exceção.

Definição de derivada — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
Derivada de sign(x) — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de floor(x) — A mesma família de derivação, com outra função.

Perguntas frequentes

Qual é a derivada de |x|?

abs(x)^(-1)*x. O valor absoluto é a reta y = x para x > 0 e y = −x para x < 0. A inclinação é +1 à direita e −1 à esquerda, isto é x/|x|, o sinal de x. O motor escreve isso como x/abs(x). Em x = 0 as inclinações laterais não coincidem, então a derivada não existe na quina, embora a função seja contínua.