A derivada de 1/x^2 é -2/x^3
Answer
Derivative of 1/x^2
- Rule Used
- Quotient Rule
- Steps
- Identify a quotient in 1/: use the quotient rule (u/v)' = (u'v − uv')/v². The minus sign belongs to the derivative of the denominator; swapping it is the usual error.
- Differentiate numerator and denominator, then combine.
- Final answer: -
A derivada de 1/x^2 é -2/x^3 para todo x real exceto zero.
Solução passo a passo instantânea para 1/x^2
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Derivada
1/x^2 → -2*x^(-3)engine: -2*x^(-3)
Gráfico da função e da derivada
A curva cheia é f. A curva tracejada é f′. As falhas verticais são assíntotas ou saltos, não zeros a mais.
Por que a derivada tem esta forma
Reescreva o recíproco como potência antes de derivar. 1/x^2 é x^(-2). A regra da potência multiplica pelo expoente antigo e depois subtrai 1, então o -2 desce e o expoente vira -3. O 2 da resposta é esse expoente. Não é fator da cadeia e não é opcional.
A regra do quociente em 1/x^2 chega à mesma fração. Com numerador 1 e denominador x^2, o numerador da derivada é 0·x^2 - 1·2x = -2x, e dividir por (x^2)^2 = x^4 cancela um x e deixa -2/x^3. Se as duas regras discordam, um sinal foi perdido num dos caminhos.
A função original não está definida em x = 0, e a derivada também não: uma potência negativa explode ali. Para x positivo o gráfico desce quando x cresce, então a inclinação é negativa. Para x negativo, x^3 é negativo, então -2/x^3 é positiva e o ramo esquerdo sobe em direção à assíntota.
Regra da potência e checagem do quociente
- Reescreva 1/x^2 como x^(-2). O expoente é -2, não 2.
- Aplique d/dx x^n = n x^(n-1) com n = -2.
- Multiplique pelo expoente: -2 · x^(-3) = -2 x^(-3).
- Escreva a potência negativa como fração: -2/x^3.
- Checagem com o quociente. u = 1, v = x^2, u' = 0, v' = 2x.
- Numerador = -2x. Denominador = x^4.
- Simplifique -2x/x^4 = -2/x^3. As duas regras concordam se x ≠ 0.
Exemplo resolvido
Inclinação de 1/x^2 em x = 2
- O valor da função é 1/4.
- A fórmula dá -2/8 = -1/4.
- Uma secante de 2 até 2,001 cai perto de -0,25.
- A resposta incompleta -1/x^3 daria -1/8. O 2 que falta aparece na secante.
Resposta: -1/4
Erros comuns
Perder o 2 e responder -1/x^3
O expoente de 1/x^2 é -2, então o coeficiente é -2. -1/x^3 é a derivada de 1/x, colocada na potência errada. Em x = 2 ela é a metade da inclinação verdadeira.
Perder o sinal de menos
2/x^3 é positiva para x positivo, mas 1/x^2 decresce ali. Uma derivada positiva descreve um recíproco que sobe, e este não sobe. O menos vem do expoente negativo.
Confundir 1/x^2 com 1/x
A derivada de 1/x é -1/x^2. Essa expressão é a função desta página, não a resposta. Derivar de novo é o que produz -2/x^3.
Derivadas relacionadas
- Derivada de sqrt(x) — 1/(2 sqrt(x)). Outra reescrita de potência, agora com expoente 1/2.
- Regra do quociente — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
- Regra da potência — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
- Derivada de 1/x — A mesma família de derivação, com outra função.
Perguntas frequentes
Qual é a derivada de 1/x^2?
A derivada de 1/x^2 é -2/x^3, para todo x real exceto zero.
Como derivar 1/x^2 com a regra da potência?
Escreva 1/x^2 como x^(-2). Multiplique por -2 e diminua o expoente em 1. O resultado é -2 x^(-3), isto é -2/x^3.
A regra do quociente dá a mesma derivada de 1/x^2?
Sim. (0·x^2 - 1·2x)/x^4 simplifica para -2/x^3. A regra da potência e a do quociente têm de concordar.
Qual é a derivada de 1/x^2 em x = 2?
Substitua x = 2 em -2/x^3. A inclinação é -2/8, que é -1/4.