A derivada de arctan(x) é 1/(1+x^2)

Answer

1(x2+1)\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)}
(1+x^2)^(-1)

Derivative of atan(x)

Rule Used
Inverse Trigonometric Rule
Steps
  1. Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: arcsin⁡(x)\arcsin(x) means arcsin⁡(x)\arcsin(x), the angle whose sine is x.
  2. The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
  3. Final answer: (1+x2x^2)^(-1)

A derivada de arctan(x) é 1/(1 + x^2) para todo x real.

Solução passo a passo instantânea para atan(x)

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Fórmula de arctan(x), tan^-1(x) e atan(x)

d/dx arctan(x) = d/dx tan^-1(x) = d/dx atan(x) = 1 / (1 + x^2), para todo x real.

Ao contrário de arcsen e arccos, não há raiz quadrada nem falha no domínio. A derivada é sempre positiva e tende a 0 quando x vai a qualquer um dos infinitos, como as assíntotas horizontais de arctan. A calculadora vem com atan(x).

Abrir arctan(x) na calculadora de derivadas

De tan(y) = x a 1/(1+x^2)

Seja y = arctan(x), de modo que tan(y) = x e y está em (-π/2, π/2). Derivar os dois lados usa a derivada conhecida da tangente: sec^2(y) · y' = 1.

Assim y' = 1/sec^2(y). A identidade pitagórica sec^2(y) = 1 + tan^2(y) reescreve o denominador sem função trigonométrica. Como tan(y) = x, o denominador é 1 + x^2.

O resultado 1/(1 + x^2) está definido para todo real. Também é a derivada de tan^-1(x) e de atan(x); são nomes da mesma função. Não é a derivada de tan(x), que é sec^2(x) e não está definida nos múltiplos ímpares de π/2.

  1. Definir y = arctan(x), de modo que tan(y) = x e y está em (-π/2, π/2).
  2. Derivar os dois lados: sec^2(y) · dy/dx = 1.
  3. Isolar: dy/dx = 1/sec^2(y).
  4. Usar sec^2(y) = 1 + tan^2(y).
  5. Trocar tan(y) por x: sec^2(y) = 1 + x^2.
  6. Concluir d/dx arctan(x) = 1/(1 + x^2), para todo x real.

Exemplos resolvidos, inclusive d/dx atan(2x)

d/dx atan(x) em x = 1

  1. atan(x) é arctan(x). A derivada é 1/(1 + x^2).
  2. Em x = 1 o denominador é 1 + 1 = 2.
  3. A inclinação é 1/2. Arctan(1) = π/4, e a tangente ali não é horizontal.

Resposta: 1/2

Calcular este exemplo

Derivada de arctan(2x)

  1. Derivada externa: 1/(1 + u^2) com u = 2x.
  2. Derivada interna: 2. A cadeia multiplica por 2 e eleva o 2 ao quadrado por dentro.
  3. 1 + (2x)^2 = 1 + 4x^2. Não há restrição de domínio.

Resposta: 2 / (1 + 4x^2)

Calcular este exemplo

Derivada de arctan(x) + arctan(1/x) para x > 0

  1. Para x > 0 a soma arctan(x) + arctan(1/x) é π/2, uma constante.
  2. Derivar confirma: 1/(1 + x^2) mais a cadeia em arctan(1/x).
  3. O segundo termo é [1/(1 + 1/x^2)] · (-1/x^2) = -1/(1 + x^2).
  4. Os termos se cancelam. Uma resposta diferente de zero significa que a derivada de 1/x foi esquecida.

Resposta: 0, para x > 0

Calcular este exemplo

Erros que trocam arctan por tan

Responder sec^2(x)

sec^2(x) é a derivada de tan(x). A derivada de arctan(x) é a função racional 1/(1 + x^2). Uma não é limitada perto de π/2; a outra nunca passa de 1.

Escrever 1/(1 - x^2)

O denominador é 1 mais x^2, porque a identidade é sec^2 = 1 + tan^2. Um menos no denominador é outra função (aparece em artanh, não em arctan) e não está definido em x = ±1, onde arctan está.

Regra da cadeia em arctan(2x)

Dois erros são comuns. Esquecer o 2 dá 1/(1 + 4x^2). Não elevar o 2 ao quadrado dá 2/(1 + 2x^2). A derivada do interior é 2, e (2x)^2 é 4x^2, então a resposta é 2/(1 + 4x^2).

Restringir o domínio a (-1, 1)

Essa restrição é de arcsen e arccos. Arctan aceita qualquer real, e 1 + x^2 nunca é zero, então a derivada tem o mesmo domínio da função.

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Perguntas frequentes

Qual é a derivada de tan^-1(x)?

A derivada de tan^-1(x) é 1/(1 + x^2). tan^-1(x) significa arctan(x), não 1/tan(x).

Quanto é d/dx atan(x)?

atan(x) é a mesma função que arctan(x). d/dx atan(x) = 1/(1 + x^2), para todo x real.

Qual é a derivada de arctan(2x)?

Pela regra da cadeia é 2/(1 + (2x)^2), que simplifica para 2/(1 + 4x^2).

A derivada de arctan(x) é sec^2(x)?

Não. sec^2(x) é a derivada de tan(x). A derivada de arctan(x) é 1/(1 + x^2).

Gráfico e regras

f(x) f'(x)

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Frequently Asked Questions

What is the derivative of atan(x)?▼
The derivative of atan(x) is (1+x^2)^(-1).
How do you find the derivative of atan(x)?▼
Apply the standard differentiation rules — the key rule used here is the Inverse Trigonometric Rule. The step-by-step result is (1+x^2)^(-1).
Why is the derivative of atan(x) equal to (1+x^2)^(-1)?▼
Because differentiation measures how a function changes — applying the rules to atan(x) yields (1+x^2)^(-1). See the full step-by-step breakdown above.

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