Derivadas das funções trigonométricas
As seis funções trigonométricas e as três inversas usuais têm, cada uma, uma derivada que vale memorizar. O resto desta página — sen(2x), sen²(x), x sen(x) — é uma dessas nove fórmulas com a regra da cadeia ou a do produto.
Uma cofunção ganha um sinal de menos: a derivada de cos(x) é −sen(x), a de cot(x) é −csc²(x) e a de csc(x) é −csc(x) cot(x). As inversas são outra família. sen⁻¹(x) significa arcsen(x), não 1/sen(x). As derivadas saem da diferenciação implícita, não da regra do quociente num recíproco. Nas fórmulas abaixo, sin(x) e sen(x) são a mesma função; a calculadora escreve sin.
Derivadas de sen, cos, tan, sec, csc e cot
Seno e cosseno são o par de base. A tangente é sen/cos, então a regra do quociente produz sec²(x). Secante, cossecante e cotangente são os recíprocos, e cada derivada mantém a função original na resposta.
| Função | Derivada | Página resolvida |
|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | Página resolvidaCalcular |
| cos(x) | −sin(x) | Página resolvidaCalcular |
| tan(x) | sec²(x) | Página resolvidaCalcular |
| sec(x) | sec(x) tan(x) | Página resolvidaCalcular |
| csc(x) | −csc(x) cot(x) | Página resolvidaCalcular |
| cot(x) | −csc²(x) | Página resolvidaCalcular |
Derivadas de arcsen, arccos e arctan
Também se escrevem sen⁻¹(x), cos⁻¹(x) e tan⁻¹(x). O expoente indica função inversa, não uma potência: não são as derivadas de csc, sec ou cot. Arcsen e arccos só são deriváveis em (−1, 1). Arctan é derivável em todos os reais.
| Função | Derivada | Página resolvida |
|---|---|---|
| arcsin(x) = sin⁻¹(x) | 1/√(1 − x²) | Página resolvidaCalcular |
| arccos(x) = cos⁻¹(x) | −1/√(1 − x²) | Página resolvidaCalcular |
| arctan(x) = tan⁻¹(x) | 1/(1 + x²) | Página resolvidaCalcular |
Regra da cadeia e do produto
sen(2x) é o seno de uma função interna, então multiplica-se pela derivada de 2x. sen²(x) é uma potência do seno: a cadeia contribui com 2 sen(x) e com a derivada do interior, cos(x). x sen(x) é um produto, e os dois fatores ficam.
| Função | Derivada | Página resolvida |
|---|---|---|
| sin(2x) | 2 cos(2x) | Página resolvidaCalcular |
| cos(2x) | −2 sin(2x) | Página resolvidaCalcular |
| sin²(x) | 2 sin(x) cos(x) | Página resolvidaCalcular |
| cos²(x) | −2 sin(x) cos(x) | Página resolvidaCalcular |
| tan²(x) | 2 tan(x) sec²(x) | Página resolvidaCalcular |
| x sin(x) | sin(x) + x cos(x) | Página resolvidaCalcular |
| x cos(x) | cos(x) − x sin(x) | Página resolvidaCalcular |
Funções hiperbólicas confundidas com as trigonométricas
sinh, cosh e tanh não são trigonométricas. O padrão parece familiar e os sinais não batem: a derivada de cosh(x) é sinh(x), sem sinal de menos. Estão aqui porque o nome se confunde com sen, cos e tan.
| Função | Derivada | Página resolvida |
|---|---|---|
| sinh(x) | cosh(x) | Página resolvidaCalcular |
| cosh(x) | sinh(x) | Página resolvidaCalcular |
| tanh(x) | sech²(x) | Página resolvidaCalcular |
Perguntas sobre derivadas trigonométricas
Qual é a derivada de sen, cos e tan?
A derivada de sen(x) é cos(x). A derivada de cos(x) é −sen(x). A derivada de tan(x) é sec²(x). O sinal de menos do cosseno é o que mais se perde.
Qual é a derivada de sec, csc e cot?
A derivada de sec(x) é sec(x) tan(x). A derivada de csc(x) é −csc(x) cot(x). A derivada de cot(x) é −csc²(x). Cotangente e cossecante levam sinal de menos.
Qual é a derivada das funções trigonométricas inversas?
A derivada de arcsen(x), também sen⁻¹(x), é 1/√(1−x²). A de arccos(x), ou cos⁻¹(x), é −1/√(1−x²). A de arctan(x), ou tan⁻¹(x), é 1/(1+x²). Cada uma tem uma página com o desenvolvimento.
sen⁻¹(x) significa 1/sen(x)?
Não. Em cálculo, sen⁻¹(x) é o seno inverso, arcsen(x). O recíproco 1/sen(x) é csc(x), e a derivada dele é −csc(x) cot(x), não 1/√(1−x²).