Derivada de acos(x)
Answer
Derivative of acos(x)
- Rule Used
- Inverse Trigonometric Rule
- Steps
- Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: means , the angle whose sine is x.
- The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
- Final answer: -
d/dx arccos(x) = d/dx cos^-1(x) = -1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Solução passo a passo instantânea para acos(x)
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Fórmula de arccos(x) e cos^-1(x)
d/dx arccos(x) = d/dx cos^-1(x) = -1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
A única diferença em relação a arcsen é o sinal. Não é convenção: arccos diminui quando x aumenta, então a inclinação tem de ser negativa. A calculadora vem com acos(x).
Por que a derivada de arccos é negativa
Seja y = arccos(x). Então y é o único ângulo em [0, π] com cos(y) = x. Ao derivar os dois lados, a regra da cadeia produz -sen(y) · y' = 1.
Isolar y' põe o sinal de menos no numerador: y' = -1/sen(y). Em [0, π] o seno é não negativo, logo sen(y) = sqrt(1 - cos^2(y)) = sqrt(1 - x^2). O sinal negativo fica na frente da raiz.
Há uma segunda prova que não repete essa álgebra. A identidade arcsen(x) + arccos(x) = π/2 vale para todo x em [-1, 1]. A derivada de uma constante é 0, então as duas derivadas somam 0. Se a de arcsen é 1/sqrt(1 - x^2), a de arccos é o negativo dela.
- Definir y = arccos(x), de modo que cos(y) = x e y está em [0, π].
- Derivar os dois lados: -sen(y) · dy/dx = 1.
- Isolar: dy/dx = -1/sen(y).
- Em [0, π], sen(y) ≥ 0, logo sen(y) = sqrt(1 - cos^2(y)) = sqrt(1 - x^2).
- Concluir d/dx arccos(x) = -1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
- Checagem: somar a derivada de arcsen(x). A soma é 0, como pede arcsen(x) + arccos(x) = π/2.
Exemplos que preservam o sinal de menos
Inclinação de arccos na origem
- Substituir x = 0 em -1/sqrt(1 - x^2).
- A raiz é 1, então a inclinação é -1.
- Arccos passa por π/2 na origem e é decrescente, o que combina com inclinação -1.
Resposta: -1
Derivada de arccos(3x)
- Função externa: -1/sqrt(1 - u^2) com u = 3x.
- Derivada interna: 3. Multiplicar, e elevar o 3 ao quadrado dentro da raiz.
- 1 - 9x^2 é o radicando. O domínio é |3x| < 1, ou seja |x| < 1/3.
Resposta: -3 / sqrt(1 - 9x^2), para |x| < 1/3
Derivada de x · arccos(x)
- Regra do produto com u = x e v = arccos(x).
- u' = 1 e v' = -1/sqrt(1 - x^2).
- O segundo termo é negativo. Não se cancela com o primeiro.
Resposta: arccos(x) - x/sqrt(1 - x^2)
Erros que apagam o sinal de menos
Copiar a fórmula de arcsen sem mudança
Arcsen e arccos têm inclinações opostas. Uma resposta 1/sqrt(1 - x^2) para arccos falha a checagem da identidade: as derivadas somariam 2/sqrt(1 - x^2) em vez de 0.
Tratar cos^-1(x) como sec(x)
cos^-1(x) é arccos(x). O recíproco do cosseno é sec(x), cuja derivada é sec(x) tan(x). A secante não está definida em π/2, onde arccos é perfeitamente suave.
Perder o 3 em arccos(3x)
A regra da cadeia multiplica por 3 e troca x^2 por (3x)^2 = 9x^2. Escrever -1/sqrt(1 - 9x^2) acerta o interior e ainda deixa de fora o fator da frente.
Usar a fórmula fora de (-1, 1)
arccos(2) não é real, e -1/sqrt(1 - 4) também não. O que está sob a raiz tem de ser positivo, então a entrada de arccos, inclusive qualquer função interna, tem de estar estritamente entre -1 e 1.
Funções relacionadas
- Derivada de arcsen(x) — A mesma raiz com o sinal oposto. A soma é a derivada de π/2, que é 0.
- Derivada de arctan(x) — 1/(1 + x^2). Sem raiz quadrada e sem restrição a (-1, 1).
- Derivada de cos(x) — -sen(x). Esse sinal de menos é a regra do cosseno, não esta regra inversa.
- Derivadas das funções trigonométricas — De sen a cot, e depois as três inversas, numa tabela.
Perguntas frequentes
Qual é a derivada de arccos(x)?
A derivada de arccos(x) é -1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Qual é a derivada de cos^-1(x)?
cos^-1(x) significa arccos(x). A derivada é -1/sqrt(1 - x^2), não a derivada de sec(x).
Por que a derivada de arccos é negativa?
arccos diminui de π a 0 quando x vai de -1 a 1, então toda inclinação é negativa. A identidade arcsen(x) + arccos(x) = π/2 obriga as duas derivadas a serem opostas.
Como a derivada de arccos se relaciona com a de arcsen?
Elas somam zero. d/dx arccos(x) = - d/dx arcsen(x) = -1/sqrt(1 - x^2).