A derivada de tan(x) é sec(x)^2

Answer

\mathrm{sec}\left(x\right)^{2}

Derivative of tan(x)

Rule Used: Trigonometric Rule
Steps: Recognize the trigonometric function $\tan(x)$ . These six derivatives are standard; a cofunction (cos, cot, csc) picks up a minus sign.
Apply the standard derivative: $\frac{d}{dx} \tan(x)$ = $\sec(x)^2$ .
Final answer: $\sec(x)^2$

A derivada de tan(x) é sec(x)^2 em todo intervalo em que cos(x) não é zero.

Solução passo a passo instantânea para tan(x)

Derivative TrigonometricIntermediate

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Derivada

tan(x) → sec(x)^2engine: sec(x)^2

Gráfico da função e da derivada

A curva cheia é f. A curva tracejada é f′. As falhas verticais são assíntotas ou saltos, não zeros a mais.

Por que a derivada tem esta forma

É a mesma função que 1/cos(x)^2, e a identidade pitagórica também a escreve como 1 + tan(x)^2. As três formas coincidem onde a tangente está definida. Não são três derivadas diferentes.

A tangente é o quociente sin(x)/cos(x). A regra do quociente produz o quadrado: o denominador da regra já é cos(x)^2, e o numerador vira 1 porque cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1. Um resultado que só diz "regra trigonométrica" pula essa álgebra, e a álgebra é o motivo do quadrado.

O cosseno se anula nos múltiplos ímpares de pi/2, e a tangente tem assíntota vertical em cada um desses pontos. A derivada não existe ali. Entre as assíntotas, sec(x)^2 é positiva, então a tangente cresce em cada intervalo em que existe. Perto de x = 0 o valor fica perto de 1, como a inclinação do gráfico.

Derivação pela regra do quociente

Escreva tan(x) como sin(x)/cos(x). O numerador é u e o denominador é v.
Derive as peças conhecidas: u' = cos(x) e v' = -sin(x).
Aplique (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
Substitua: numerador = cos(x)·cos(x) - sin(x)·(-sin(x)) = cos(x)^2 + sin(x)^2.
O numerador é 1. O denominador continua cos(x)^2.
Conclua d/dx tan(x) = 1/cos(x)^2, que é sec(x)^2.
Checagem: 1 + tan(x)^2 = (cos(x)^2 + sin(x)^2)/cos(x)^2 = sec(x)^2.

Exemplo resolvido

Inclinação de tan(x) em x = pi/4

sec(pi/4) = √2.
Ao quadrado: sec(pi/4)^2 = 2. A inclinação é 2, não √2.
tan(pi/4) = 1, então a reta tangente é y - 1 = 2(x - pi/4).
Uma secante de pi/4 até pi/4 + 0,001 tem inclinação perto de 2. Não se aproxima de 1.

Resposta: 2

Erros comuns

Responder sec(x) sem o quadrado

sec(x) é o recíproco do cosseno. A regra do quociente deixa cos(x)^2 no denominador, então o recíproco fica ao quadrado. Em pi/4 a resposta √2 vale cerca de 1,41 e a inclinação verdadeira é 2.

Usar a derivada de arctan(x)

A derivada de arctan(x) é 1/(1 + x^2). Nunca passa de 1 e está definida em todo real. sec(x)^2 não é limitada e tem falhas nas assíntotas. Inverter a função não inverte a derivada.

Calcular em x = pi/2

tan(pi/2) não está definida, então não tem inclinação. sec(pi/2)^2 também não existe, porque o cosseno é zero. A fórmula só é uma derivada entre assíntotas consecutivas.

Derivada de arctan(x) — 1/(1 + x^2). É a tangente inversa, não esta derivada lida ao contrário.
Derivadas trigonométricas — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
Regra do quociente — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
Derivadas de funções trigonométricas — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de sin(x) — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de cos(x) — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de sec(x) — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de csc(x) — A mesma família de derivação, com outra função.
Derivada de cot(x) — A mesma família de derivação, com outra função.