Derivada de asin(x)
Answer
Derivative of asin(x)
- Rule Used
- Inverse Trigonometric Rule
- Steps
- Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: means , the angle whose sine is x.
- The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
- Final answer:
d/dx arcsen(x) = d/dx sen^-1(x) = 1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Solução passo a passo instantânea para asin(x)
Derivative of asin(x) = sqrt(-x^2+1)^(-1) Solve step-by-step for free: https://derivativecalculatorai.com/pt/derivative-of-arcsin-x
Fórmula de arcsen(x) e sen^-1(x)
d/dx arcsen(x) = d/dx sen^-1(x) = 1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Em x = ±1 o gráfico de arcsen tem tangente vertical, então a derivada não é um número real ali. A calculadora desta página já vem com asin(x), que é a mesma função. sen(x) e sin(x) também são a mesma.
Diferenciação implícita que produz 1/sqrt(1-x^2)
Seja y = arcsen(x). Por definição, y é o único ângulo em [-π/2, π/2] cujo seno é x, logo sen(y) = x. Derivar essa equação é mais curto do que derivar a inversa pela definição de limite.
O lado esquerdo é uma composição. A regra da cadeia dá cos(y) · y'. O lado direito é a reta y = x, cuja derivada é 1. Isolar é uma divisão: y' = 1/cos(y), desde que cos(y) não seja zero.
O cosseno é não negativo na imagem de arcsen. Isso escolhe a raiz positiva: cos(y) = sqrt(1 - sen^2(y)) = sqrt(1 - x^2). Substituí-la é a prova inteira. A mesma expressão é a derivada de sen^-1(x); a notação não muda a função.
- Definir y = arcsen(x), de modo que sen(y) = x e y está em [-π/2, π/2].
- Derivar os dois lados: cos(y) · dy/dx = 1.
- Isolar: dy/dx = 1/cos(y).
- Como y permanece em [-π/2, π/2], cos(y) ≥ 0, logo cos(y) = sqrt(1 - sen^2(y)).
- Trocar sen(y) por x: cos(y) = sqrt(1 - x^2).
- Concluir d/dx arcsen(x) = 1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Exemplos resolvidos, inclusive arcsen de um múltiplo
Inclinação de arcsen na origem
- Substituir x = 0 em 1/sqrt(1 - x^2).
- O interior da raiz é 1, e sqrt(1) = 1.
- A inclinação é 1. Perto de zero, arcsen(x) e a reta y = x compartilham a tangente.
Resposta: 1
Derivada de arcsen(2x)
- A derivada externa é 1/sqrt(1 - u^2) com u = 2x.
- A derivada interna é 2. A regra da cadeia multiplica as duas.
- 1 - (2x)^2 = 1 - 4x^2, então o resultado é 2/sqrt(1 - 4x^2).
- O domínio encolhe: |2x| < 1, ou seja |x| < 1/2.
Resposta: 2 / sqrt(1 - 4x^2), para |x| < 1/2
Derivada de x · arcsen(x)
- É um produto. Usar (uv)' = u'v + uv' com u = x e v = arcsen(x).
- u' = 1 e v' = 1/sqrt(1 - x^2).
- Os dois termos são arcsen(x) e x/sqrt(1 - x^2). Os dois ficam na resposta.
Resposta: arcsen(x) + x/sqrt(1 - x^2)
Erros que transformam arcsen em cossecante
Ler sen^-1(x) como 1/sen(x)
sen^-1(x) é arcsen(x). O recíproco 1/sen(x) é csc(x), e a derivada dele é -csc(x) cot(x). Essa resposta tem assíntotas verticais em cada múltiplo de π; arcsen não tem.
Esquecer o fator da cadeia em arcsen(2x)
1/sqrt(1 - 4x^2) não inclui a derivada do interior. O 2 tem de ser elevado ao quadrado dentro da raiz e também multiplicar fora. Elevar só o x, como em 1 - 2x^2, é a outra forma do mesmo deslize.
Tomar a raiz negativa
cos(y) = ±sqrt(1 - x^2). Na imagem de arcsen o cosseno é positivo, então a derivada de arcsen é positiva em todo (-1, 1). A fórmula negativa é a derivada de arccos(x).
Calcular nos extremos
Em x = 1 e x = -1 a expressão 1/sqrt(1 - x^2) divide por zero. Arcsen está definido nesses pontos e a derivada não. Uma checagem numérica em x = 0,999 fica grande; não se acomoda numa inclinação finita.
Funções relacionadas
- Derivada de arccos(x) — O negativo deste resultado, porque arcsen(x) + arccos(x) = π/2.
- Derivada de arctan(x) — 1/(1 + x^2), definida para todo real, não só em (-1, 1).
- Derivada de sen(x) — cos(x). Arcsen inverte o seno; não compartilha esta derivada.
- Derivadas das funções trigonométricas — As seis fórmulas usuais ao lado das três inversas.
Perguntas frequentes
Qual é a derivada de sen^-1(x)?
A derivada de sen^-1(x) é 1/sqrt(1 - x^2), para x estritamente entre -1 e 1. sen^-1(x) é outro jeito de escrever arcsen(x).
A derivada de arcsen(x) é a mesma da de 1/sen(x)?
Não. 1/sen(x) é csc(x), e a derivada dele é -csc(x) cot(x). A derivada de arcsen(x) é 1/sqrt(1 - x^2).
Qual é o domínio da derivada de arcsen(x)?
A derivada 1/sqrt(1 - x^2) está definida no intervalo aberto (-1, 1). Arcsen também está definido em x = ±1, mas a tangente é vertical ali.
Como derivar arcsen(2x)?
Multiplica-se 1/sqrt(1 - (2x)^2) pela derivada interna 2. O resultado é 2/sqrt(1 - 4x^2), e exige |x| < 1/2.