A derivada de pi é 0
Answer
Derivative of pi
- Rule Used
- Constant Rule
- Steps
- pi does not depend on x. The slope of a horizontal line is zero, so the constant rule gives 0. A symbol such as pi is still a constant.
- Final answer: 0
A derivada de pi é 0.
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Derivada
pi → 0engine: 0
Gráfico da função e da derivada
A curva cheia é f. A curva tracejada é f′. As falhas verticais são assíntotas ou saltos, não zeros a mais.
Por que a derivada tem esta forma
Pi é um número, cerca de 3,14159, embora se escreva com uma letra grega. Uma letra é variável só se muda com x. Em d/dx, pi não muda. A regra da constante diz que a derivada de qualquer constante é 0, e o quociente mostra por quê: (pi - pi)/h = 0 para qualquer passo h, então o limite já é 0.
A mesma regra cobre 5, e e qualquer numeral sozinho. Não cobre um produto ou uma composição em que pi multiplica uma função de x. A derivada de pi·x é pi, porque o fator constante fica e a derivada de x é 1. A derivada de sin(pi·x) é pi·cos(pi·x): a regra da cadeia traz a derivada do interior, que é pi, e esse fator não é zero.
Às vezes se confunde "pi é importante" com "a taxa de variação deveria ser interessante". Importância não é dependência de x. O gráfico de y = pi é uma reta horizontal. Cada reta tangente é a própria reta, e a inclinação de uma horizontal é 0.
Da definição à regra da constante
- Defina f(x) = pi. A saída é o mesmo número em cada x.
- Monte o quociente: (f(x+h) - f(x))/h = (pi - pi)/h = 0.
- O quociente já é 0 para todo h ≠ 0. O limite quando h tende a 0 é 0.
- Dê nome à regra: a derivada de uma constante é 0.
- Contraste: d/dx (pi·x) = pi, porque o fator fica e a derivada de x é 1.
- Contraste: d/dx sin(pi·x) = pi·cos(pi·x). A cadeia multiplica pela derivada do interior.
Exemplo resolvido
Derivada de x^2 + pi
- Derive termo a termo. A derivada de x^2 é 2x.
- A derivada de pi é 0, então o termo constante some.
- A soma é 2x.
- Em x = 3 a inclinação é 6, a mesma que x^2 teria sem o pi. Somar uma constante sobe o gráfico e não o inclina.
Resposta: 2x
Erros comuns
Responder 1
A derivada de x é 1. Pi não é x. Responder 1 trata um número fixo como a variável. O quociente de pi é 0/h, que é 0, não 1.
Responder pi
Pi é o valor da função, não a inclinação. A derivada de pi·x é pi. A derivada de pi sozinho é 0. Ler "de pi" como "pi fica na resposta" esquece de perguntar se pi depende de x.
Cancelar pi dentro de sin(pi·x)
A derivada de sin(pi·x) não é cos(pi·x). O interior ainda depende de x, e a derivada dele é pi. Uma constante na frente de x sobrevive à cadeia. Uma constante sem x ao lado não sobrevive.
Derivadas relacionadas
- Derivada de x^2 — 2x. Some pi e o termo extra continua sem contribuir.
- Derivada de e^x — e^x. A base é constante, mas o expoente é x, então a derivada não é 0.
- Regra da potência — A página da regra lista este exemplo e os outros da mesma família.
- Derivada de 5 — A mesma família de derivação, com outra função.
Perguntas frequentes
Qual é a derivada de pi?
A derivada de pi é 0. Pi não depende de x, então é uma constante.
Por que a derivada de uma constante é 0?
Se f(x) = c para todo x, então (f(x+h) - f(x))/h = 0. O limite é 0. Pi, 5 e e são constantes desse tipo.
Qual é a derivada de pi vezes x?
A derivada de pi·x é pi. O fator constante fica, e a derivada de x é 1.
A derivada de pi é a mesma que a de e?
Sim, as duas são 0, porque as duas são constantes. A derivada de e^x é e^x, porque o expoente depende de x. A derivada de pi^x é pi^x ln(pi), pelo mesmo motivo.