Derivada de acos(x)
Answer
Derivative of acos(x)
- Rule Used
- Inverse Trigonometric Rule
- Steps
- Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: means , the angle whose sine is x.
- The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
- Final answer: -
d/dx arccos(x) = d/dx cos^-1(x) = -1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
Solución paso a paso instantánea para acos(x)
Derivative of acos(x) = -sqrt(-x^2+1)^(-1) Solve step-by-step for free: https://derivativecalculatorai.com/es/derivative-of-arccos-x
Fórmula de arccos(x) y cos^-1(x)
d/dx arccos(x) = d/dx cos^-1(x) = -1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
La única diferencia con arcsen es el signo. No es una convención: arccos decrece cuando x crece, así que la pendiente tiene que ser negativa. La calculadora trae acos(x).
Por qué la derivada de arccos es negativa
Sea y = arccos(x). Entonces y es el único ángulo de [0, π] con cos(y) = x. Al derivar ambos lados, la regla de la cadena produce -sen(y) · y' = 1.
Despejar y' deja el signo menos en el numerador: y' = -1/sen(y). En [0, π] el seno es no negativo, así que sen(y) = sqrt(1 - cos^2(y)) = sqrt(1 - x^2). El signo negativo permanece delante de la raíz.
Hay una segunda prueba que no repite ese álgebra. La identidad arcsen(x) + arccos(x) = π/2 vale para todo x de [-1, 1]. La derivada de una constante es 0, así que las dos derivadas suman 0. Si la de arcsen es 1/sqrt(1 - x^2), la de arccos es su negativa.
- Poner y = arccos(x), así cos(y) = x e y está en [0, π].
- Derivar ambos lados: -sen(y) · dy/dx = 1.
- Despejar: dy/dx = -1/sen(y).
- En [0, π], sen(y) ≥ 0, luego sen(y) = sqrt(1 - cos^2(y)) = sqrt(1 - x^2).
- Concluir d/dx arccos(x) = -1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
- Chequeo: sumar la derivada de arcsen(x). La suma es 0, como corresponde a arcsen(x) + arccos(x) = π/2.
Ejemplos que conservan el signo menos
Pendiente de arccos en el origen
- Sustituir x = 0 en -1/sqrt(1 - x^2).
- La raíz es 1, así que la pendiente es -1.
- Arccos pasa por π/2 en el origen y es decreciente, lo que coincide con pendiente -1.
Respuesta: -1
Derivada de arccos(3x)
- Función exterior: -1/sqrt(1 - u^2) con u = 3x.
- Derivada interior: 3. Multiplicar, y elevar el 3 al cuadrado dentro de la raíz.
- 1 - 9x^2 es el radicando. El dominio es |3x| < 1, o sea |x| < 1/3.
Respuesta: -3 / sqrt(1 - 9x^2), para |x| < 1/3
Derivada de x · arccos(x)
- Regla del producto con u = x y v = arccos(x).
- u' = 1 y v' = -1/sqrt(1 - x^2).
- El segundo término es negativo. No se cancela con el primero.
Respuesta: arccos(x) - x/sqrt(1 - x^2)
Errores que borran el signo menos
Copiar la fórmula de arcsen sin cambio
Arcsen y arccos tienen pendientes opuestas. Una respuesta 1/sqrt(1 - x^2) para arccos falla el chequeo de la identidad: las derivadas sumarían 2/sqrt(1 - x^2) en lugar de 0.
Tratar cos^-1(x) como sec(x)
cos^-1(x) es arccos(x). El recíproco del coseno es sec(x), cuya derivada es sec(x) tan(x). La secante no está definida en π/2, donde arccos es perfectamente suave.
Perder el 3 en arccos(3x)
La regla de la cadena multiplica por 3 y sustituye x^2 por (3x)^2 = 9x^2. Escribir -1/sqrt(1 - 9x^2) deja bien el interior y aun así omite el factor de delante.
Usar la fórmula fuera de (-1, 1)
arccos(2) no es real, y -1/sqrt(1 - 4) tampoco. Lo que está bajo la raíz tiene que ser positivo, así que la entrada de arccos, incluida cualquier función interior, tiene que estar estrictamente entre -1 y 1.
Funciones relacionadas
- Derivada de arcsen(x) — La misma raíz con el signo opuesto. Su suma es la derivada de π/2, que es 0.
- Derivada de arctan(x) — 1/(1 + x^2). Sin raíz cuadrada y sin restricción a (-1, 1).
- Derivada de cos(x) — -sen(x). Ese signo menos es la regla del coseno, no esta regla inversa.
- Derivadas de funciones trigonométricas — De sen a cot, y después las tres inversas, en una tabla.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la derivada de arccos(x)?
La derivada de arccos(x) es -1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.
¿Cuál es la derivada de cos^-1(x)?
cos^-1(x) significa arccos(x). Su derivada es -1/sqrt(1 - x^2), no la derivada de sec(x).
¿Por qué la derivada de arccos es negativa?
arccos decrece de π a 0 cuando x va de -1 a 1, así que toda pendiente es negativa. La identidad arcsen(x) + arccos(x) = π/2 obliga a que las dos derivadas sean opuestas.
¿Cómo se relaciona la derivada de arccos con la de arcsen?
Suman cero. d/dx arccos(x) = - d/dx arcsen(x) = -1/sqrt(1 - x^2).