La derivada de tan(x) es sec(x)^2

Answer

\mathrm{sec}\left(x\right)^{2}

Derivative of tan(x)

Rule Used: Trigonometric Rule
Steps: Recognize the trigonometric function $\tan(x)$ . These six derivatives are standard; a cofunction (cos, cot, csc) picks up a minus sign.
Apply the standard derivative: $\frac{d}{dx} \tan(x)$ = $\sec(x)^2$ .
Final answer: $\sec(x)^2$

La derivada de tan(x) es sec(x)^2 en todo intervalo donde cos(x) no es cero.

Solución paso a paso instantánea para tan(x)

Derivative TrigonometricIntermediate

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Derivada

tan(x) → sec(x)^2engine: sec(x)^2

Gráfica de la función y de su derivada

La curva continua es f. La curva punteada es f′. Los cortes verticales son asíntotas o saltos, no ceros de más.

Por qué la derivada tiene esta forma

Es la misma función que 1/cos(x)^2, y la identidad pitagórica también la escribe como 1 + tan(x)^2. Las tres formas coinciden donde la tangente está definida. No son tres derivadas distintas.

La tangente es el cociente sin(x)/cos(x). La regla del cociente produce el cuadrado: el denominador de la regla ya es cos(x)^2, y el numerador se reduce a 1 porque cos(x)^2 + sin(x)^2 = 1. Un resultado que solo dice "regla trigonométrica" se salta ese álgebra, y el álgebra es la razón del cuadrado.

El coseno se anula en los múltiplos impares de pi/2, y ahí la tangente tiene una asíntota vertical. La derivada no existe en esos puntos. Entre asíntotas, sec(x)^2 es positiva, así que la tangente crece en cada intervalo donde existe. Cerca de x = 0 vale cerca de 1, como la pendiente de la gráfica.

Derivación con la regla del cociente

Escribe tan(x) como sin(x)/cos(x). El numerador es u y el denominador es v.
Deriva las piezas conocidas: u' = cos(x) y v' = -sin(x).
Aplica (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
Sustituye: numerador = cos(x)·cos(x) - sin(x)·(-sin(x)) = cos(x)^2 + sin(x)^2.
El numerador es 1. El denominador sigue siendo cos(x)^2.
Concluye d/dx tan(x) = 1/cos(x)^2, que es sec(x)^2.
Chequeo: 1 + tan(x)^2 = (cos(x)^2 + sin(x)^2)/cos(x)^2 = sec(x)^2.

Ejemplo resuelto

Pendiente de tan(x) en x = pi/4

sec(pi/4) = √2.
Al cuadrado: sec(pi/4)^2 = 2. La pendiente es 2, no √2.
tan(pi/4) = 1, así que la recta tangente es y - 1 = 2(x - pi/4).
Una secante de pi/4 a pi/4 + 0,001 tiene pendiente cerca de 2. No se acerca a 1.

Respuesta: 2

Errores frecuentes

Responder sec(x) sin el cuadrado

sec(x) es el recíproco del coseno. La regla del cociente deja cos(x)^2 en el denominador, así que el recíproco va al cuadrado. En pi/4 la respuesta √2 vale cerca de 1,41 y la pendiente real es 2.

Usar la derivada de arctan(x)

La derivada de arctan(x) es 1/(1 + x^2). Nunca pasa de 1 y está definida en todo real. sec(x)^2 no está acotada y tiene huecos en las asíntotas. Invertir la función no invierte la derivada.

Evaluar en x = pi/2

tan(pi/2) no está definida, así que no tiene pendiente. sec(pi/2)^2 tampoco existe, porque el coseno es cero. La fórmula solo es una derivada entre asíntotas consecutivas.

Derivada de arctan(x) — 1/(1 + x^2). Es la tangente inversa, no esta derivada leída al revés.
Derivadas trigonométricas — La página de la regla enlaza este ejemplo y los demás de la misma familia.
Regla del cociente — La página de la regla enlaza este ejemplo y los demás de la misma familia.
Derivadas de funciones trigonométricas — La misma familia de derivación, con otra función.
Derivada de sin(x) — La misma familia de derivación, con otra función.
Derivada de cos(x) — La misma familia de derivación, con otra función.
Derivada de sec(x) — La misma familia de derivación, con otra función.
Derivada de csc(x) — La misma familia de derivación, con otra función.
Derivada de cot(x) — La misma familia de derivación, con otra función.