Derivadas de las funciones trigonométricas
Las seis funciones trigonométricas y las tres inversas habituales tienen cada una una derivada que conviene memorizar. El resto de esta página — sen(2x), sen²(x), x sen(x) — es una de esas nueve fórmulas junto con la regla de la cadena o la del producto.
Una cofunción arrastra un signo menos: la derivada de cos(x) es −sen(x), la de cot(x) es −csc²(x) y la de csc(x) es −csc(x) cot(x). Las inversas son otra familia. sen⁻¹(x) significa arcsen(x), no 1/sen(x). Sus derivadas salen de la diferenciación implícita, no de la regla del cociente aplicada a un recíproco. En las fórmulas de abajo, sin(x) y sen(x) son la misma función; la calculadora escribe sin.
Derivadas de sen, cos, tan, sec, csc y cot
Seno y coseno son el par de base. La tangente es sen/cos, así que la regla del cociente da sec²(x). Secante, cosecante y cotangente son los recíprocos, y cada derivada conserva la función original en la respuesta.
| Función | Derivada | Página resuelta |
|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | Página resueltaCalcular |
| cos(x) | −sin(x) | Página resueltaCalcular |
| tan(x) | sec²(x) | Página resueltaCalcular |
| sec(x) | sec(x) tan(x) | Página resueltaCalcular |
| csc(x) | −csc(x) cot(x) | Página resueltaCalcular |
| cot(x) | −csc²(x) | Página resueltaCalcular |
Derivadas de arcsen, arccos y arctan
También se escriben sen⁻¹(x), cos⁻¹(x) y tan⁻¹(x). El superíndice indica función inversa, no un exponente: no son las derivadas de csc, sec o cot. Arcsen y arccos solo son derivables en (−1, 1). Arctan es derivable en todos los reales.
| Función | Derivada | Página resuelta |
|---|---|---|
| arcsin(x) = sin⁻¹(x) | 1/√(1 − x²) | Página resueltaCalcular |
| arccos(x) = cos⁻¹(x) | −1/√(1 − x²) | Página resueltaCalcular |
| arctan(x) = tan⁻¹(x) | 1/(1 + x²) | Página resueltaCalcular |
Regla de la cadena y del producto
sen(2x) es el seno de una función interior, así que se multiplica por la derivada de 2x. sen²(x) es una potencia del seno: la cadena aporta 2 sen(x) y la derivada del interior, cos(x). x sen(x) es un producto, y los dos factores permanecen.
| Función | Derivada | Página resuelta |
|---|---|---|
| sin(2x) | 2 cos(2x) | Página resueltaCalcular |
| cos(2x) | −2 sin(2x) | Página resueltaCalcular |
| sin²(x) | 2 sin(x) cos(x) | Página resueltaCalcular |
| cos²(x) | −2 sin(x) cos(x) | Página resueltaCalcular |
| tan²(x) | 2 tan(x) sec²(x) | Página resueltaCalcular |
| x sin(x) | sin(x) + x cos(x) | Página resueltaCalcular |
| x cos(x) | cos(x) − x sin(x) | Página resueltaCalcular |
Funciones hiperbólicas que se confunden con las trigonométricas
sinh, cosh y tanh no son trigonométricas. El patrón se parece y los signos no coinciden: la derivada de cosh(x) es sinh(x), sin signo menos. Están aquí porque el nombre se confunde con sen, cos y tan.
| Función | Derivada | Página resuelta |
|---|---|---|
| sinh(x) | cosh(x) | Página resueltaCalcular |
| cosh(x) | sinh(x) | Página resueltaCalcular |
| tanh(x) | sech²(x) | Página resueltaCalcular |
Preguntas sobre derivadas trigonométricas
¿Cuál es la derivada de sen, cos y tan?
La derivada de sen(x) es cos(x). La derivada de cos(x) es −sen(x). La derivada de tan(x) es sec²(x). El signo menos del coseno es el que más se omite.
¿Cuál es la derivada de sec, csc y cot?
La derivada de sec(x) es sec(x) tan(x). La derivada de csc(x) es −csc(x) cot(x). La derivada de cot(x) es −csc²(x). Cotangente y cosecante llevan signo menos.
¿Cuál es la derivada de las funciones trigonométricas inversas?
La derivada de arcsen(x), también sen⁻¹(x), es 1/√(1−x²). La de arccos(x), o cos⁻¹(x), es −1/√(1−x²). La de arctan(x), o tan⁻¹(x), es 1/(1+x²). Cada una tiene su página con el desarrollo.
¿sen⁻¹(x) significa 1/sen(x)?
No. En cálculo, sen⁻¹(x) es el seno inverso, arcsen(x). El recíproco 1/sen(x) es csc(x), y su derivada es −csc(x) cot(x), no 1/√(1−x²).