La derivada de arctan(x) es 1/(1+x^2)

Answer

1(x2+1)\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)}
(1+x^2)^(-1)

Derivative of atan(x)

Rule Used
Inverse Trigonometric Rule
Steps
  1. Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: arcsin⁡(x)\arcsin(x) means arcsin⁡(x)\arcsin(x), the angle whose sine is x.
  2. The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
  3. Final answer: (1+x2x^2)^(-1)

La derivada de arctan(x) es 1/(1 + x^2) para todo x real.

Solución paso a paso instantánea para atan(x)

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Fórmula de arctan(x), tan^-1(x) y atan(x)

d/dx arctan(x) = d/dx tan^-1(x) = d/dx atan(x) = 1 / (1 + x^2), para todo x real.

A diferencia de arcsen y arccos, no hay raíz cuadrada ni hueco en el dominio. La derivada siempre es positiva y tiende a 0 cuando x va a cualquiera de los dos infinitos, igual que las asíntotas horizontales de arctan. La calculadora trae atan(x).

Abrir arctan(x) en la calculadora de derivadas

De tan(y) = x a 1/(1+x^2)

Sea y = arctan(x), de modo que tan(y) = x e y está en (-π/2, π/2). Derivar ambos lados usa la derivada conocida de la tangente: sec^2(y) · y' = 1.

Así y' = 1/sec^2(y). La identidad pitagórica sec^2(y) = 1 + tan^2(y) reescribe el denominador sin función trigonométrica. Como tan(y) = x, el denominador es 1 + x^2.

El resultado 1/(1 + x^2) está definido para todo real. También es la derivada de tan^-1(x) y de atan(x); son nombres de la misma función. No es la derivada de tan(x), que es sec^2(x) y no está definida en los múltiplos impares de π/2.

  1. Poner y = arctan(x), así tan(y) = x e y está en (-π/2, π/2).
  2. Derivar ambos lados: sec^2(y) · dy/dx = 1.
  3. Despejar: dy/dx = 1/sec^2(y).
  4. Usar sec^2(y) = 1 + tan^2(y).
  5. Reemplazar tan(y) por x: sec^2(y) = 1 + x^2.
  6. Concluir d/dx arctan(x) = 1/(1 + x^2), para todo x real.

Ejemplos resueltos, incluido d/dx atan(2x)

d/dx atan(x) en x = 1

  1. atan(x) es arctan(x). La derivada es 1/(1 + x^2).
  2. En x = 1 el denominador es 1 + 1 = 2.
  3. La pendiente es 1/2. Arctan(1) = π/4, y la tangente ahí no es horizontal.

Respuesta: 1/2

Calcular este ejemplo

Derivada de arctan(2x)

  1. Derivada exterior: 1/(1 + u^2) con u = 2x.
  2. Derivada interior: 2. La cadena multiplica por 2 y eleva el 2 al cuadrado dentro.
  3. 1 + (2x)^2 = 1 + 4x^2. No hay restricción de dominio.

Respuesta: 2 / (1 + 4x^2)

Calcular este ejemplo

Derivada de arctan(x) + arctan(1/x) para x > 0

  1. Para x > 0 la suma arctan(x) + arctan(1/x) es π/2, una constante.
  2. Derivar lo confirma: 1/(1 + x^2) más la cadena sobre arctan(1/x).
  3. El segundo término es [1/(1 + 1/x^2)] · (-1/x^2) = -1/(1 + x^2).
  4. Los términos se cancelan. Una respuesta distinta de cero significa que se olvidó la derivada de 1/x.

Respuesta: 0, para x > 0

Calcular este ejemplo

Errores que cambian arctan por tan

Responder sec^2(x)

sec^2(x) es la derivada de tan(x). La derivada de arctan(x) es la función racional 1/(1 + x^2). Una no está acotada cerca de π/2; la otra nunca pasa de 1.

Escribir 1/(1 - x^2)

El denominador es 1 más x^2, porque la identidad es sec^2 = 1 + tan^2. Un menos en el denominador es otra función (aparece en artanh, no en arctan) y no está definido en x = ±1, donde arctan sí lo está.

Regla de la cadena en arctan(2x)

Hay dos errores frecuentes. Olvidar el 2 da 1/(1 + 4x^2). No elevar el 2 al cuadrado da 2/(1 + 2x^2). La derivada del interior es 2, y (2x)^2 es 4x^2, así que la respuesta es 2/(1 + 4x^2).

Restringir el dominio a (-1, 1)

Esa restricción es de arcsen y arccos. Arctan acepta cualquier real, y 1 + x^2 nunca es cero, así que la derivada tiene el mismo dominio que la función.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada de tan^-1(x)?

La derivada de tan^-1(x) es 1/(1 + x^2). tan^-1(x) significa arctan(x), no 1/tan(x).

¿Cuánto es d/dx atan(x)?

atan(x) es la misma función que arctan(x). d/dx atan(x) = 1/(1 + x^2), para todo x real.

¿Cuál es la derivada de arctan(2x)?

Por la regla de la cadena es 2/(1 + (2x)^2), que se simplifica a 2/(1 + 4x^2).

¿La derivada de arctan(x) es sec^2(x)?

No. sec^2(x) es la derivada de tan(x). La derivada de arctan(x) es 1/(1 + x^2).

Gráfica y reglas

f(x) f'(x)

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Frequently Asked Questions

What is the derivative of atan(x)?▼
The derivative of atan(x) is (1+x^2)^(-1).
How do you find the derivative of atan(x)?▼
Apply the standard differentiation rules — the key rule used here is the Inverse Trigonometric Rule. The step-by-step result is (1+x^2)^(-1).
Why is the derivative of atan(x) equal to (1+x^2)^(-1)?▼
Because differentiation measures how a function changes — applying the rules to atan(x) yields (1+x^2)^(-1). See the full step-by-step breakdown above.

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