Derivada de asin(x)

Answer

1−x2+1\frac{1}{\sqrt{-x^{2}+1}}
sqrt(-x^2+1)^(-1)

Derivative of asin(x)

Rule Used
Inverse Trigonometric Rule
Steps
  1. Recognize an inverse trigonometric function. It is not the reciprocal of the trig function: arcsin⁡(x)\arcsin(x) means arcsin⁡(x)\arcsin(x), the angle whose sine is x.
  2. The derivative comes from implicit differentiation of the inverse relation, then a Pythagorean identity that removes the angle.
  3. Final answer: −x2+1−1\sqrt{-x^2+1}^{-1}

d/dx arcsen(x) = d/dx sen^-1(x) = 1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.

Solución paso a paso instantánea para asin(x)

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Fórmula de arcsen(x) y sen^-1(x)

d/dx arcsen(x) = d/dx sen^-1(x) = 1 / sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.

En x = ±1 la gráfica de arcsen tiene tangente vertical, así que ahí la derivada no es un número real. La calculadora de esta página ya trae asin(x), que es la misma función. sen(x) y sin(x) también son la misma.

Abrir arcsen(x) en la calculadora de derivadas

Diferenciación implícita que da 1/sqrt(1-x^2)

Sea y = arcsen(x). Por definición, y es el único ángulo de [-π/2, π/2] cuyo seno es x, de modo que sen(y) = x. Derivar esa ecuación es más corto que derivar la inversa desde la definición por límite.

El lado izquierdo es una composición. La regla de la cadena da cos(y) · y'. El lado derecho es la recta y = x, cuya derivada es 1. Despejar es una división: y' = 1/cos(y), siempre que cos(y) no sea cero.

El coseno es no negativo en el recorrido de arcsen. Eso elige la raíz positiva: cos(y) = sqrt(1 - sen^2(y)) = sqrt(1 - x^2). Sustituirla es toda la demostración. La misma expresión es la derivada de sen^-1(x); la notación no cambia la función.

  1. Poner y = arcsen(x), así sen(y) = x e y está en [-π/2, π/2].
  2. Derivar ambos lados: cos(y) · dy/dx = 1.
  3. Despejar: dy/dx = 1/cos(y).
  4. Como y permanece en [-π/2, π/2], cos(y) ≥ 0, luego cos(y) = sqrt(1 - sen^2(y)).
  5. Reemplazar sen(y) por x: cos(y) = sqrt(1 - x^2).
  6. Concluir d/dx arcsen(x) = 1/sqrt(1 - x^2), para -1 < x < 1.

Ejemplos resueltos, incluido arcsen de un múltiplo

Pendiente de arcsen en el origen

  1. Sustituir x = 0 en 1/sqrt(1 - x^2).
  2. El interior de la raíz es 1, y sqrt(1) = 1.
  3. La pendiente es 1. Cerca de cero, arcsen(x) y la recta y = x comparten tangente.

Respuesta: 1

Calcular este ejemplo

Derivada de arcsen(2x)

  1. La derivada exterior es 1/sqrt(1 - u^2) con u = 2x.
  2. La derivada interior es 2. La regla de la cadena las multiplica.
  3. 1 - (2x)^2 = 1 - 4x^2, así que el resultado es 2/sqrt(1 - 4x^2).
  4. El dominio se reduce: |2x| < 1, es decir |x| < 1/2.

Respuesta: 2 / sqrt(1 - 4x^2), para |x| < 1/2

Calcular este ejemplo

Derivada de x · arcsen(x)

  1. Es un producto. Usar (uv)' = u'v + uv' con u = x y v = arcsen(x).
  2. u' = 1 y v' = 1/sqrt(1 - x^2).
  3. Los dos términos son arcsen(x) y x/sqrt(1 - x^2). Los dos se quedan.

Respuesta: arcsen(x) + x/sqrt(1 - x^2)

Calcular este ejemplo

Errores que convierten arcsen en cosecante

Leer sen^-1(x) como 1/sen(x)

sen^-1(x) es arcsen(x). El recíproco 1/sen(x) es csc(x), y su derivada es -csc(x) cot(x). Esa respuesta tiene asíntotas verticales en cada múltiplo de π; arcsen no las tiene.

Olvidar el factor de la cadena en arcsen(2x)

1/sqrt(1 - 4x^2) no incluye la derivada del interior. El 2 tiene que elevarse al cuadrado dentro de la raíz y también multiplicar fuera. Elevar al cuadrado solo la x, como en 1 - 2x^2, es la otra forma del mismo error.

Tomar la raíz negativa

cos(y) = ±sqrt(1 - x^2). En el recorrido de arcsen el coseno es positivo, así que la derivada de arcsen es positiva en todo (-1, 1). La fórmula negativa es la derivada de arccos(x).

Evaluar en los extremos

En x = 1 y x = -1 la expresión 1/sqrt(1 - x^2) divide por cero. Arcsen está definido en esos puntos y la derivada no. Un chequeo numérico en x = 0,999 se hace grande; no se estabiliza en una pendiente finita.

Funciones relacionadas

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada de sen^-1(x)?

La derivada de sen^-1(x) es 1/sqrt(1 - x^2), para x estrictamente entre -1 y 1. sen^-1(x) es otra forma de escribir arcsen(x).

¿La derivada de arcsen(x) es la misma que la de 1/sen(x)?

No. 1/sen(x) es csc(x), y su derivada es -csc(x) cot(x). La derivada de arcsen(x) es 1/sqrt(1 - x^2).

¿Cuál es el dominio de la derivada de arcsen(x)?

La derivada 1/sqrt(1 - x^2) está definida en el intervalo abierto (-1, 1). Arcsen también está definido en x = ±1, pero ahí la tangente es vertical.

¿Cómo se deriva arcsen(2x)?

Se multiplica 1/sqrt(1 - (2x)^2) por la derivada interior 2. El resultado es 2/sqrt(1 - 4x^2), y exige |x| < 1/2.

Gráfica y reglas

f(x) f'(x)

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Frequently Asked Questions

What is the derivative of asin(x)?▼
The derivative of asin(x) is sqrt(-x^2+1)^(-1).
How do you find the derivative of asin(x)?▼
Apply the standard differentiation rules — the key rule used here is the Inverse Trigonometric Rule. The step-by-step result is sqrt(-x^2+1)^(-1).
Why is the derivative of asin(x) equal to sqrt(-x^2+1)^(-1)?▼
Because differentiation measures how a function changes — applying the rules to asin(x) yields sqrt(-x^2+1)^(-1). See the full step-by-step breakdown above.

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