Calculadora de Derivadas

Como calcular uma derivada com este solver

A derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função. Se f dá o valor em x, f′ diz a rapidez dessa mudança. Digite a função — x^2, sin(x), ln(x) ou uma expressão maior — e pressione Solve. O resultado traz a derivada, o nome da regra e os passos para conferir a conta.

As funções comuns são derivadas com regras determinísticas: potência, constante, soma, produto, quociente e cadeia, além das derivadas de seno, cosseno, tangente, exponenciais e logaritmos. Uma explicação em palavras fica ao lado dos passos. Dá para trocar a expressão e resolver de novo sem recarregar a página.

Potências usam ^. Parênteses evitam leitura ambígua: sin(2*x) é claro; sin2x confunde. O solver reconhece sin, cos, tan, sec, csc, cot, arcsin, arccos, arctan, ln, log, exp e sqrt.

Regras de derivação que o solver aplica

A regra da potência é a mais usada: a derivada de x^n é n·x^(n−1). A derivada de x^2 é 2x e a de x^3 é 3x^2. Constante tem derivada 0, então a derivada de pi é 0. A regra da soma deriva termo a termo: a derivada de x^2 + 1 é 2x.

A regra do produto vale para duas funções multiplicadas: (uv)′ = u′v + uv′. A derivada de x·sin(x) é sin(x) + x·cos(x). A regra do quociente é (u/v)′ = (u′v − uv′) / v^2. Por isso a derivada de 1/x é −1/x^2. Escrevendo 1/x^2 como x^(−2), a regra da potência dá −2x^(−3), ou −2/x^3.

A regra da cadeia deriva uma função dentro de outra: a derivada de f(g(x)) é f′(g(x))·g′(x). A derivada de sin(2x) é cos(2x) vezes 2, isto é 2 cos(2x). Esquecer esse 2 é o erro mais comum nesse exercício.

Derivadas trigonométricas: sin(x) dá cos(x), cos(x) dá −sin(x), tan(x) dá sec^2(x), cot(x) dá −csc^2(x), sec(x) dá sec(x)tan(x) e csc(x) dá −csc(x)cot(x). A derivada de arcsin(x) é 1/√(1−x^2), a de arccos(x) é −1/√(1−x^2) e a de arctan(x) é 1/(1+x^2). sin^−1(x) e tan^−1(x) nomeiam essas inversas, não 1/sin(x).

Exponenciais e logaritmos: a derivada de e^x é e^x, a de e^(2x) é 2e^(2x), a de ln(x) é 1/x e a de ln(2x) também é 1/x. A derivada de x·ln(x) usa a regra do produto e vale ln(x) + 1.

Erros que mudam a derivada

Tirar o fator da regra da cadeia. A derivada de sin(2x) não é cos(2x). É preciso multiplicar pela derivada do interior, que é 2.

Tratar um produto como soma. A derivada de x·sin(x) não é cos(x). Cada fator gera um termo.

Confundir inversa trigonométrica com recíproca. arcsin(x) não é csc(x). Se o enunciado diz sin^−1(x), confira se o curso pede a função inversa. Nestas páginas arcsin é a inversa.

Derivar uma constante que parece importante. pi, um número solto e e^0 têm derivada 0. e^x não é constante, porque o expoente depende de x.

Misturar ln e log. Aqui ln(x) é o logaritmo natural e a derivada é 1/x. Se na sua aula log significa base 10, a derivada leva o fator extra 1/ln(10).

Integrais, limites e as outras ferramentas

A derivada responde como a função muda. A integral pede uma antiderivada e o limite pede o valor de que a função se aproxima. Para isso existem a calculadora de integrais, a calculadora de limites, a calculadora de matrizes e o resolvedor de equações diferenciais. A wiki de cálculo resume as regras quando você quer a definição sem disparar outro cálculo.

Se o resultado não bater, confira primeiro os parênteses e a variável. O solver deriva em relação a x. Uma expressão sem x é constante e a derivada será 0.

Derivadas que os estudantes pesquisam

• Derivada de sin(2x) — Regra da cadeia: cos(2x) · 2 = 2 cos(2x).
• Derivada de 1/x^2 — Escreva como x^(−2). Regra da potência: −2/x^3.
• Derivada de tan(x) — sec^2(x). O quociente sin/cos dá o mesmo resultado.
• Derivada de arcsin(x) — 1/√(1−x^2), com x entre −1 e 1.
• Derivada de cot(x) — −csc^2(x). O sinal de menos faz parte da resposta.
• Derivada de 2x — Reta de inclinação 2. A derivada é a constante 2.
• Derivada de pi — Pi não depende de x, então a derivada é 0.
• Derivada de x ln(x) — Regra do produto: ln(x) + 1.

Perguntas frequentes